V 函数，也称李雅普诺夫函数，是一种方便直观的，彰显系统部分性质的函数

我们可以利用这个非线性函数 V 的某些性质，判断系统的稳定性（stability）

其对于单系统，多系统，抽象系统（社会网），具体系统（多智能体）都有分析价值

本文从苏联数学家，李亚普洛夫博士论文《运动稳定性的一般问题》出发

尝试说清楚从李提出稳定（stability）概念的分析性定义，到网络动力学发展至今最先进的预设时间稳定，中间发展的进步与脉络

[1] 李文章

[2] https://sat.huijiwiki.com/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E7%A8%B3%E5%AE%9A

[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/58738073

[4] 有限时间综述

前人的工作

在李之前，有数学家，物理学家已经研究了系统的稳定性问题

这些工作往往需要了解运动的状态，能对运动的微分方程求积分，或是用线性方程近似原运动方程

面临问题是：更一般性的运动方程不知道是否可积；近似法不满足先验，条件极为苛刻，无法推广到更一般的情况上来

从《运动稳定性的一般问题》开始 1892

《运动稳定性的一般问题》为苏联数学家李雅普诺夫的博士论文，针对上述问题，他在论文前言中提到自己的看法

当我们可以对这些微分方程求积分时，往往问题不算什么事。但是找到一些能独立于方程可积性的方法，来解决这些问题就显得很重要了 [1]

拉格朗日稳定

在李稳定之前，拉格朗日已经对系统稳定性有了比较弱化的定义，所谓拉格朗日稳定的定义：

对于保守系统 $t_0$ 时刻后，有

$$\hat{x}(t)\in B_\delta(\hat{x}_r(t)), \forall t >t_0\tag{1}$$

其中 $\delta$ 不随时间变化

称 $\hat{x}(t)$ 相对于追踪变量 $\hat{x}_r(t)$ $Lagrange$ 稳定

如：无摩擦的钟摆系统中，若参考状态为最低点，则从任意高度静止释放摆锤，摆锤的运动高度不会超过初始高度。因此，此情况下系统具有拉格朗日稳定[2]

可以看到 $\hat{x}$ 与目标系统距离始终有上限约束，换言之，离得不远，仅此而已

下面简单介绍李在文中的工作

稳定（stable）的分析学定义

对有初值 $x_0$，$t_0$ 的常微分系统，有其运动方程

$$\frac{dx}{dt} = X(x,t) \tag{2}$$

其中 $x=x(t,t_0,x_0)$

将系统在某一时刻 $t$ 后，$\dot{X}\equiv0$，称为稳定（stable），反之系统不稳定（unstable）

简单看一下最初版本的稳定定义，只要求系统停下来，停在哪不知道，多长时间不知道，运动状态跟初值有严重依赖关系，这些问题后面都会得到分析与处理

常规解法为求解微分方程：

如 $\dot{X}=x$，$x=t^2$，易得 $\dot{X} = t^2$，说明系统速度随时间增长而变大，该系统显然是不稳定的

李的方法

利用 $x \rightarrow x+\xi$ 变换，将问题转化为 $X(0,t)\equiv0$ 的零解存在性问题

对于任意给定的 $\epsilon>0$ 和时间 $t_0$，存在 $\eta>0$，当 $t>t_0$ 时，使对任意 $x_0$ 满足 $||x_0|| \leq \eta$，

有 $||x(t,t_0,x_0)||<\epsilon$，则称系统稳定，反之不稳定

根据上式可以看出，当系统初值满足条件时，系统会在某一时刻停留到在原点的某一小邻域内

换言之，系统在平衡状态 $x_e$ 收到扰动后，最终停留在 $x_e$ 附近，我们就称 $x_e$ 在李雅普诺夫意义下是稳定的（Lyapunov stable）[3]

根据条件的变化，收敛情况的要求，有下表

可以看到，效果最好的渐进稳定，依然有初值依赖（包括系统能否稳定依赖于初值，系统驻留时间依赖于初值）和稳定的驻留时间（setting time）长度不确定的问题

正是对这两个问题的研究，催生出近期蓬勃发展的：

有限时间稳定（finite time stable），固定时间稳定（fixed time stable），预设时间稳定（prescribed time stable）

李雅普诺夫直接法

此为神来一笔

李雅普诺夫在其博士论文中 [1]，严格证明了可以利用一个标量函数 $V$，检测系统的稳定性

（证明过程超过了笔者能力范畴，会在自学完数学分析后再次尝试阅读）

不是每个系统都有 $V$ 函数，反之亦然，一般情况下不需要考虑此类反例

当一个系统的 $V$ 函数正定，且 $\dot{V}\leq 0$（按照动力学速度方向，和时间方向），我们称 $V$ 函数对应系统稳定

特别有，当对 $\forall x\in D$，有 $\dot{V}< 0$，系统渐进稳定

我们要控制系统了

系统自己能保持平衡是挺好的，但是事实往往难遂人愿

对于现实中大部分系统，不加以操作和控制，都是不稳定的，因此我们需要在系统的动力学方程中加入一项控制器 $u(t)$ 使其稳定下来

那么，控制谁（部分节点还是全部节点），控制器使多大劲（如何评价其能量消耗），如何控制（连续控制还是离散控制），碰到系统时滞怎么办，都是需要讨论解决的问题，也对应了现代控制论的部分发展方向，关于控制器设计问题不在本文展开

同步（synchronization）与稳定（stability）的关系

在笔者的理解中，这是个一体两面的说法

当一个系统关于某一个初值 $x_e$ 不偏离时，称之为稳定

而如果那这个初值换成另一个系统，则在讨论两个系统的同步问题

本质上就是稳定的坐标系是自己的目标值，同步的坐标系是另一个目标系统而已

我们对系统稳定提出了更苛刻的要求

现在我们要设计一款地对空导弹，使其能有效拦截敌人的对地导弹，那么用上述的知识尝试解决，会出现很多问题

如果证明了两枚导弹的相对稳定性（同步），我们可以得知，拦截导弹会在某一时刻 $t$ 后，与敌方导弹保持不超过

$\epsilon$ 的距离，有没有挡住是不知道的，反正离得不远

如果证明两枚导弹渐进同步，我们可以得知，在无限的时间长河中，拦截导弹终究可以挡住对手，至于到底是什么时候，只有天知道

这不就完蛋了吗家人们！

所以我们要对同步的精度，同步的时间做严格要求

进而我们引入有限时间同步（finite time synchronization），固定时间同步（fixed time synchronization），预设时间同步（prescribed time synchronization）

有限时间稳定（同步）

有限时间最早于 60 年代由俄国数学家提出[4]

在文献[4]中，有对有限时间的定量定义，与定性定义，后者为李的 $V$ 函数方法

对任意 $x \in \mathscr{C}\subset\mathbb{R}^n$，$t \geq 0$，$\epsilon>0$ ，存在 $\delta(t,x_0)>0$，$T(x_0)>0$；

于是有 $||x0||\leq\delta$，表明 $||x(t,x_0)||\leq\epsilon$，$\lim{t\rightarrow\infty}||x(t,x_0)||=0$，以及对所有 $t>T(x_0)$，有 $x(t)=0$

其中 $T(x_0) = \inf{T\geq0|x(t,x_0)=0,\forall t\geq T}$，称为驻留时间（setting time）

特别的，若有 $\mathscr{C} = \mathbb{R}^n$，系统全局有限时间稳定