常用矩阵数学公式

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本文的公式讨论场景特指动力系统

柯西 - 施瓦茨不等式 - 杨不等式及其变形

$||AB||\leq \|A\|\cdot||B||$

常用来处理类二次型，如其带有非线性项，则利用系数矩阵的对称性，结合 $Lipschitz$ 条件放缩

若 $A$ 对称，有

$x^TAy\leq \frac{1}{2}x^TAx+\frac{1}{2}y^TAy$

此不等式在 $\dot V$ 向需要的稳定引理放缩时会经常使用

将类二次型向二次型过渡，进而利用二次型更好的性质：放弃负项，或利用谱半径或最小特征值（非 $0$）放缩出 $V$ 函数，凑出引理项

$|\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle| \leq || \vec{a}|| \cdot || \vec{b}||$

$||A\pm B|| \leq ||A||+||B||$

往往使用在范数内变量展开后放缩，如各类误差项：测量误差，追踪误差

对任意实对称矩阵 $A$，合适向量 $x$，有

$\lambda_{min}x^Tx\leq x^TAx \leq \lambda_{max}x^Tx$

条件上回答了为什么原拓扑不对称时，要死命凑对称

结果上以原二次型为基础，利用两个对称阵互相翻转，往往可以轻易凑出想要的 $V$ 函数引理的一次项（系数是一个最大特征值，一个最小特征值）

多配合 $LMI$ ，代数 $Riccati$ 方程等使用

$(A\otimes B)^T=A^T\otimes B^T$

${||A\otimes B||}_2 = {||A||}_2 \cdot {||B||}_2$

同样适用与 $1$ 范数，$\infty$ 范数，$F$ 范数

$sgn(x) = \frac{x}{||x||}$

于是有

$x^Tsgn(x)=\frac{x^Tx}{||x||}=||x||$

可以向矩阵，向量等延拓