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常用 Markdown 数学公式

上标 $X^2$

X^2

下标 $X_2$

X_2

空格

怎么在LaTeX,Markdown和知乎上写数学公式时打出空格

空格

大空格 $x\quad y$

x \quad y

小空格 $x \, y$

x \, y

向量 $\vec{l}$

\vec{l}

矩阵

begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
end{matrix}

begin 跟 end 前面都要加 \

侧标

\tag{1}

大于等于 $\geq$

\geq

小于等于 $\leq$

\leq

省略号 $\cdots$

\cdots

分号 $\frac{x}{y}$

\frac 或 \dfrac

头上一点 $\dot{X}$

\dot{X}

从场论到图论:梯度,旋度,散度,通量,拉布拉斯算子与矩阵,图算法

【其实贼简单】拉普拉斯算子和拉普拉斯矩阵

方向导数与梯度

偏导数:函数在坐标轴方向的变化率
方向导数:函数在特定方向 $l$ 的变化率

记作: ${ {\partial u \over \partial \vec{l} } | }_{P_0}$

梯度:数量场某点方向导数,哪个方向最大?梯度!

记作:${\vec{grad} {\,}u |}_{P_0}$,为函数三个方向的偏导数

梯度是向量,是最大变化率的方向导数

通量

M 矩阵

M-矩阵的应用简介

在计算数学,生物学,物理学与数理经济学等领域中,有许多问题可归结为具有特殊构造的矩阵问题

在这一类矩阵中,具有非正的非对角元素的实方阵扮演着重要的角色

M - 矩阵的术语在1937年首先有 Ostrowski 提出:

判定一个矩阵是否为 M 矩阵在网络计算中,可以判定一个离散动力系统是否稳定

在数值计算中,可以判定一个迭代系统是否收敛

因此研究 M 矩阵的判定方法成为矩阵理论研究中极为活跃的一领域

多年以来国内外许多数学工作者都在研究 M 矩阵的判定方法,已有的研究成果大多是对 M 矩阵的整体进行讨论。

从《三体》到线性代数,矩阵,基,行列式的本质

行列式的本质是什么?

刘老师跟我们讲课的时候,从来没有把线性代数与高等数学加以区分,统言之:高等数学

我挺疑惑的,知道今天看了这篇文章才琢磨到一点味道

线性代数,线性代数,首先是线性的,那么 $y = x^2$ 必然不是研究对象,此类问题被限定在 $y = ax + b$ 上面,那么立即推,其为高等数学研究的一个很大的子问题

那么谁最擅长研究线性问题呢?矩阵嘛!

那么什么样的世界是离散的线性世界呢?计算机世界嘛!

于是计算机跟矩阵的关系开始暧昧起来~

什么是矩阵

矩阵是线性变换的唯一工具

矩阵变换的目标对象是基

矩阵变换的倍率是行列式

矩阵变换的角度是矩阵以行列式为单位放缩后,得到的模为 $1$ 的矩阵,此矩阵控制变换的角度

什么是基

顾名思义,基,基石,是一个多维空间描述精确位置的基石

基于一个原点,最少的恰好能描述这个时空的基数量,就是这个时空的维度

什么是行列式

行列式是线性变换的伸缩因子

行列式的大小决定变化后,决定了向量,基连成的平行四边形的面积的变化(二维),即多边形的测度

立即推: $|A|>0$ ,面积放大 ;$|A|<0 $ ,面积缩小

最有意思的地方来了,$|A|=0 $ 怎么说?

按照之前的解释,行列式为 0,面积扩大(缩小)0 倍,说明维度严重受损,至少一个维度坍塌为 0,那么维持测度的基被严重打击,立即推变换后测度为 0

举例之:三维的基会坍塌为平面,直线或者点,无论是哪个,体积肯定是没有了

在《三体》里,三维生物不能理解四维坟墓的内外之分,就是因为维度缺失,我们可以把缺失的维度看成基为 $0$ 向量,$0$ 基于任何倍率也无法达到非 $0$ 的世界

毁灭一个世界有二向箔降维打击,而创造一个世界是高等文明都无法掌握的能力,这就是造物主的特权,从无到有的天堑,凡性难以僭越

所以说二向箔其实就是一个行列式为 $0$ ,有且只有一个 $0$ 特征值的大矩阵,对整个太阳系做了一次线性变换!

矩阵可逆?

维度不坍塌的线性变换,行列式不为 0 ,很显然反着来一次就行了,于是正反这俩矩阵就是一对可逆矩阵

而被二向箔作用过的世界,至少一个基已经被摧毁,再如何的矩阵来做线性变换,也不可能恢复如初了,称之为此矩阵不可逆,换言之此矩阵是残忍矩阵

大宇宙广播,无数高等文明的共识,从未觊觎通过文明的能力恢复不断降低的宇宙维度,而是把物质交还给宇宙,希望下一次的神迹,让宇宙在大爆炸的得以新生

给岁月以文明,而不是给文明以岁月

刘慈欣牛逼!

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